Главная
Высшая математика
Решить задачи по математике
Задача по математике
Физика
задчи по вышке
Физики
Электромагнитная индукция
Импульс
Центр масс
Космонавтика
Гироскопы
Теория вероятности и математическая статистика
Задачки по высшей математике
1. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа. Пространство R действительных чисел (континуум). Соответствие точек пространства R и числовой прямой. Открытые и замкнутые интервалы. Системы стягивающихся вложенных отрезков, плотность пространства рациональных и сплошность пространства действительных чисел R.
2. Символы общности, существования, принадлежности элемента множеству. Окрестности бесконечно удаленных точек. Числовая последовательность как функция целочисленной переменной. Предел числовой последовательности. Понятие числового ряда, частичные суммы, сходимость и сумма ряда. Признаки сходимости. Абсолютная сходимость и свойства абсолютно сходящихся рядов.
3. Понятие функциональной зависимости. Способы задания и исследования функций, их ограниченность и неограниченность. Графики функций. Основные элементарные функции и их графики (линейная, степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические и логарифмические функции). Обратные, сложные, параметрически заданные функции. Векторные функции времени, определяющие движение точки в пространстве.
4. Понятие окрестности, ?- и ?-окрестность точки на прямой. Предел функции. Бесконечно малые функции. Функция как сумма постоянной и бесконечно малой. Сравнение и свойства бесконечно малых. Пределы на бесконечности и бесконечно большие функции. Замечательные пределы. Правило Лопиталя. Пределы слева и справа. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Пределы сумм, произведений и частного функций, имеющих пределы. Практические приемы вычисления пределов. Предельные переходы в неравенствах.
5. Отношение порядка на множестве действительных чисел. Границы и грани упорядоченных множеств. Непрерывность функции в точке и на интервале. Теорема о существовании обратной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Непрерывность сложной и обратной функции. Приращение функции. Возрастание и убывание функции.
6. Путь, скорость и ускорение движения точки по прямой линии. Приращение функции в точке. Дифференциал, как главная, линейная часть приращения. Касательная к графику функции. Линеаризация дифференцируемых функций. Производная как коэффициент в выражении дифференциала, тангенс угла наклона касательной и скорость изменения функции при изменении аргумента. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
7. Дифференцируемость и непрерывность. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная, кривизна и ускорение. Формула Тейлора. Разложение функций exp х, sin x, cos x, ln (1+x), (1+x)–1 в ряд Тейлора.
8. Монотонность функции. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Исследование функции.
9. Линейное и средне-квадратическое приближение функций. Метод наименьших квадратов. Численные методы нахождения корня алгебраического нелинейного уравнения. Численные решения задач линейной алгебры.
10. Точечные множества в пространстве R2 и их элементарные топологические понятия и свойства: окрестности точки в R2; предельная, внутренняя, изолированная и граничные точки множества, открытые и замкнутые множества, связные множества. Отрезок и область пространства.
11. Функции двух переменных, их ограниченность и неограниченность. Предел и непрерывность функций двух переменных, дифференциалы и частные производные. Дифференцирование функций одной переменной, заданных неявным образом. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
12. Траектория, скорость и ускорение движения точки в пространстве. Формула и ряд Тейлора в дифференциальной форме для векторных функций и функций двух переменных. Экстремумы и седловые точки функций двух переменных на примерах поверхностей 2-го порядка.
13. Распределение температур, плотности и т. п. величин в пространстве и времени. Технические и экономические характеристики производственного объекта. Многомерный континуум – пространство Rn. Функции n независимых переменных. Поверхности уровня. Пределы и непрерывность.
14. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции n переменных на замкнутой ограниченной области. Понятие условного экстремума.
15. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные первообразные. Свойства неопределенного интеграла. Подведение под знак дифференциала, методы замены переменной, интегрирование по частям. Интегрирование простых рациональных, иррациональных, тригонометрических, гиперболических функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
16. Задачи определения массы стержня с переменной плотностью и площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральных сумм Римана. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Предметные задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Уравнения 1-го порядка. Общее и частное решения. Виды уравнений, поле направлений, интегральные кривые, особые точки, точные и приближенные решения. Условия существования и единственности задачи с начальным условием.
Системы дифференциальных уравнений, частные и общее решения. Качественное исследование системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка Приложение к изучению колебательных процессов.
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков, их решения и свойства.
Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Задачи о колебаниях маятника, пружины и т.п., свободных, с трением и вынуждающей силой.
Понятие функционального ряда как обобщение ряда Тейлора. Радиус и область сходимости степенного ряда.
Приложение степенных рядов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Алгебра и аналитическая геометрия.
1. Табличное представление данных с предметным содержанием в соответствии со специальностью. Предметно осмысленные операции и отношения для столбцов или строк таблиц. Операции умножения на число и сложения столбцов. Нулевой столбец. Столбец, противоположный данному, операция вычитания. Линейное пространство столбцов, понятие линейной комбинации, линейно зависимые и линейно независимые столбцы.
2. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Радиус-векторы. Взаимно-однозначное соответствие между пространствами разных по природе векторов. Векторы. Свободные, скользящие и связанные векторы механики и физики. Векторные физические величины: cила, скорость, перемещение... Изоморфизм пространства радиус-векторов и векторов-столбцов их координат
3. Матрицы, линейное пространство матриц порядка m?n. Квадратные матрицы. Нулевая и единичная матрицы. Перемножение матриц 4. Определители квадратных матриц второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
5. Ранг матрицы. Невырожденная квадратная матрица. Понятие обратной матрицы.
6. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Матричная запись решения системы n уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. Решение однородных систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о существовании решения системы n уравнений с m неизвестными.
7. Евклидово трехмерное пространство векторов – направленных отрезков, столбцов (строк). Скалярное произведение и его свойства. Работа силы на перемещение. Угол между векторами. Проекция вектора на направление. Условие колинеарности и ортогональности векторов. Разложение вектора по ортонормированному базису.
8. Векторное произведение трехмерных векторов и его свойства. Двойное векторное произведение. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Траектория точки, движущейся по инерции (I закон Ньютона). Виды уравнений плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Геометрические задачи для прямых и плоскостей в трехмерном пространстве. Площадь треугольника, объем пирамиды. Расстояние от точки до плоскости.
9. Комплексные числа как пространство пар действительных чисел и как двумерное векторное пространство. Изображение комплексных чисел и линейные действия с ними. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи.
10. Перемножение комплексных чисел. Формулы Эйлера. «Число» i=(0,1). Показательная форма комплексного числа. Деление комплексных чисел, извлечение корней. Действительное подпространство комплексных чисел. Линейные и векторные пространства.
11. Многочлены с комплексными и действительными коэффициентами. Основная теорема алгебры. Наличие действительного корня у многочлена с действительными коэффициентами нечетной степени; сопряженные комплексные корни и разложение на линейные и квадратичные множители. Теорема Безу.
12. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы, геометрические свойства этих кривых. Траектории планет.
13. Линейный оператор над векторным пространством и его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Преобразование поворота декартовой прямоугольной системы координат. Понятие вектора как инвариантного объекта.
14. Квадратичные формы, поверхности 2-го порядка и матрицы. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.
15. Цилиндрические и конические поверхности. Канонические уравнения поверхностей второго порядка – сферы, эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, седловая точка. Конусы и цилиндры. Башня Шухова. Прожектор.
16. Общие преобразования системы координат, якобиан преобразования. Преобразования сдвига, поворота, зеркального отображения. Цилиндрические, полярные и сферические координаты. Формулы связи между координатами.
Векторный анализ; дифференцирование и интегрирование.
1. Задачи о массе пластины с переменной плотностью и массе пространственного неоднородного тела. Двойной и тройной интегралы как пределы интегральных сумм. Свойства кратных интегралов. Обобщение на n-мерный случай (отличие от определенного интеграла при n=1.
2. Вычисление двойных и тройных интегралов посредством сведения к повторным.
3. Поле температуры сплошной среды, поле вектора скорости. Скалярные и векторные поля. Градиент и производная по направлению. Векторный оператор «набла». Дифференцирование векторов поля в заданной декартовой прямолинейной системе координат. Дифференциальные операторы 2-го порядка. Их механический смысл.
4. Работа векторного поля вдоль ориентированной кривой. Вектор потока жидкости через ориентированную площадку. Криволинейные и поверхностные интегралы, их свойства, вычисление, простейшие приложения.
