Главная
Высшая математика
Решить задачи по математике
Задача по математике
Физика
задчи по вышке
Физики
Электромагнитная индукция
Импульс
Центр масс
Космонавтика
Гироскопы
Теория вероятности и математическая статистика

Задачки по высшей математике
Решение задач по математики необходимо всем направлено на достижение следующих целей: ФУНКЦИИ

Функции. Область определения и множество значений. График функции.

Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций:

монотонность, четность и нечетность, периодичность

, ограниченность. Про-межутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значе-ния, точки экстремума (локального

максимума и миниму-ма

). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график.

Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков.

Графики дробно-линейных функций. Тригонометрические функции, их свойства и графики; перио-дичность, основной период.

Показательная функция

(экспонента), ее свойства и график.

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат. ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ Преобразования простейших выражений, включающих

арифметические операции

, а также операцию возведения в степень и операцию

логарифмирования

. Основы тригонометрии.

Синус, косинус, тангенс, ко-тангенс

произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, ко-синус, тангенс и котангенс числа.

Основные тригонометриче-ские тождества

. Формулы приведения. Синус, косинус и тан-генс суммы и разности двух углов.

Синус и косинус

двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сум-му. Выражение тригонометрических функций через тангенс поло-винного аргумента. Преобразования простейших тригонометриче-ских выражений. Простейшие тригонометрические уравнения. Решения триго-нометрических уравнений. Простейшие тригонометрические нера-венства.

Арксинус, арккосинус, арктангенс чис-ла

. АЛГЕБРА Корни и степени. Корень степени n>1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем . Свойства степени с действитель-ным показателем.

Логарифм

.

Логарифм числа

. Основ-ное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частно-го, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натураль-ный логарифмы, число е.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 Понятие о

пределе последовательности

. Суще-ствование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательно-стей. Бесконечно убывающая

геометрическая прогрессия

и ее сумма. Понятие о непрерывности функции. Понятие о производной функции,

физический и геомет-рический смысл производной

. Уравнение касательной к гра-фику функции. Производные суммы, разности, произведения, част-ного.

Производные основных элементарных функций

. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные

обратной функции

и компози-ции данной функции с линейной. Понятие об определенном интеграле как площади криволи-нейной трапеции.

Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница.

Примеры использования производной для нахождения наи-лучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономи-ческих, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений. Основные приемы

решения систем уравнений

: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых перемен-ных. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Решение простейших систем уравнений

с двумя неизвестными. Реше-ние систем неравенств с одной переменной. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на коор-динатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержа-тельных задач из различных областей науки и практики. Интерпре-тация результата, учет реальных ограничений. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Нью-тона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паска-ля. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и

вероятность суммы несовместных событий

, вероят-ность противоположного события. Понятие о независимости собы-тий. Вероятность и статистическая частота наступления собы-тия. Решение практических задач с применением вероятностных методов. ГЕОМЕТРИЯ

Прямые и плоскости в пространстве

. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, призна-ки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная.

Угол между прямой и плоскостью

. Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

Расстояния от точки до плоскости

. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостя-ми. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной про-екции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранника. Раз-вертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эй-лера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая по-верхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Парал-лелепипед. Куб.

Пирамида

, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зер-кальная). Примеры симметрий в окружающем мире. Сечения куба, призмы, пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Тела и поверхности вращения

. Цилиндр и ко-нус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, об-разующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные осно-ванию. Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере.

Объемы тел и площади их поверхностей

. Поня-тие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы. Координаты и векторы. Декартовы коор-динаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости.

Векторы.

Модуль вектора

. Равенство векторов.

Сложение векторов и умножение вектора на число

. Угол между векторами. Координаты вектора.

Скалярное произведение векторов

. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компла-нарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам. значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность приме-нения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю раз-вития понятия числа, создания математического анализа, возникно-вения и развития геометрии; универсальный характер законов логики математических рассужде-ний, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

АЛГЕБРА

формирование представлений о

математике

как универ-сальном языке науки, средстве

моделирования явлений

и процессов, об идеях и методах математики; развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, не-обходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе; овладение

математическими

знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных есте-ственнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения обра-зования в областях, не требующих углубленной математической подготовки; воспитание средствами

математики

культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического про-гресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволю-цией математических идей. уметь выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устрой-ства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; проводить по известным формулам и правилам преобразования бук-венных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции; вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществ-ляя необходимые подстановки и преобразования; использовать приобретенные знания и умения в практиче-ской деятельности и повседневной жизни для: практических расчетов по формулам, включая формулы, содержа-щие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства; ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ уметь определять

значение функции

по значению аргумента при различных способах задания функции; строить графики изученных функций; описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведе-ние и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свой-ства функций и их графиков; использовать приобретенные знания и умения в практиче-ской деятельности и повседневной жизни для: описания с помощью функций различных зависимостей, представ-ления их графически, интерпретации графиков; НАЧАЛА

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИ-ЗА

уметь вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы; исследовать в простейших случаях функции на монотонность, нахо-дить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики

многочленов

и простейших

рациональных функ-ций

с использованием аппарата математического анализа; вычислять в простейших случаях площади с использованием перво-образной; использовать приобретенные знания и умения в практиче-ской деятельности и повседневной жизни для: решения прикладных задач, в том числе социально-экономи-ческих и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахожде-ние скорости и ускорения;

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

уметь решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы; составлять уравнения и неравенства по условию задачи; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод; изображать на координатной плоскости множества решений про-стейших уравнений и их систем; использовать приобретенные знания и умения в практиче-ской деятельности и повседневной жизни для: построения и исследования простейших математических моделей; ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

уметь решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов; использовать приобретенные знания и умения в практиче-ской деятельности и повседневной жизни для: анализа реальных числовых данных, представленных в виде диа-грамм, графиков; анализа информации статистического характера; ГЕОМЕТРИЯ уметь распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; со-относить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в про-странстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объ-ектов в пространстве; изображать основные

многогранники

и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметриче-ские факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; использовать приобретенные знания и умения в практиче-ской деятельности и повседневной жизни для: исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач , используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.