Высшая математика
задчи по вышке
Решить задачи по математике
Задача по математике
Физика
Физики
Электромагнитная индукция
Закон сохранения механической энергии
Импульс
Центр масс
Космонавтика
Гироскопы
Теория вероятности и математическая статистика
Задачки по высшей математике
1.
Скалярные и векторные физические величины. Сила, перемещение, скорость, напряженность электрического поля. Вектор, как параллельный перенос.
Представление вектора направленным отрезком прямой. Модуль вектора. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание и умножение на число). Пространство векторов и его алгебраические свойства.2.
Линейно зависимые и независимые системы векторов. Коллинеарность и компланарность. Базис на прямой, плоскости и в пространстве.
Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Ортонормированный базис. Декартова система координат на прямой, плоскости и в пространстве.3.
Векторы - столбцы и векторы - строки.
Арифметическое векторное пространство. Абстрактное векторное (линейное) пространство. Базис и размерность.4.
Скалярное произведение векторов. Работа силы на перемещении.
Свойства скалярного произведения. Проекция вектора на ось. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Евклидово пространство размерности n.5. Правая и левая тройки векторов.
Векторное произведение.
Момент силы.Свойства векторного произведения.
Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.6.
Двойное векторное произведение. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения.
Объемы параллелепипеда и треугольной пирамиды.
7.Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.
Выражения векторного и смешанного произведений в форме определителей.8.
Уравнения прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой.
Траектория материальной точки, движущейся по инерции ( I закон Ньютона ).9.
Уравнение плоскости.
Аналитическое исследование взаимного расположения прямых и плоскостей.
10.
Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Линейная зависимость между величинами. Умножение матриц.
Символы сокращенного суммирования.11.
Определитель n - го порядка и его свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и столбцу.
12.
Невырожденная квадратная матрица.
Единичная матрица. Обратная матрица.
13.
Системы линейных уравнений. Матричная запись системы n линейных уравнений с n неизвестными и ее решения. Правило Крамера.
14.
Ранг матрицы. Элементарные преобразования. Алгоритм вычисления ранга.
15.
Общее решение однородной системы линейных уравнений. Критерий совместности и общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
16. Алгоритм решения системы линейных уравнений общего вида.
Метод Гаусса
.17. Линейный оператор и его матрица. Композиция операторов. Собственные векторы и значения линейного оператора (матрицы). Операторы подобия и отражения.
18.
Операторы поворота на плоскости и в пространстве. Ортогональная матрица. Преобразование декартовых координат на плоскости и в пространстве.
19. Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Канонические уравнения кривых второго порядка. Фокальные свойства, эксцентриситеты. Конические сечения. Траектории небесных тел.
20.
Поверхности второго порядка.
Цилиндр, конус, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Прямолинейные образующие гиперболоида в архитектуре. Параболическое зеркало.21. Понятие линейной формы.
Квадратичная форма и ее матрица.
Приведение к диагональному виду, сигнатура. Канонические уравнения кривых и поверхностей второго порядка. Положительная и отрицательная определенность квадратичных форм.22.
Полярная система координат на плоскости. Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве. Преобразование полярных, цилиндрических и сферических координат к декартовым.
Общее понятие криволинейных координат.23.
Мнимая единица. Комплексные числа. Действительная и мнимая части. Сопряженность комплексных чисел. Модуль и аргумент. Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексная плоскость.
24.
Умножение комплексных чисел. Деление комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корней. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
25.
Понятие многочлена. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня. Корни производной от многочлена. Основная теорема алгебры. Корни многочлена с действительными коэффициентами. Графики многочленов.
26. Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители. Разложение дробной рациональной функции на элементарные дроби. Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Интерполяция, многочлен Лагранжа, экстраполяция.
Дифференциальное и интегральное исчисление.
1.
Элементарные понятия теории множеств. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа. Связные подмножества числовой прямой. Понятие окрестности. Модуль и его свойства.
2.
Числовая последовательность. Предел последовательности. Бесконечные пределы. Факториал.
Число e .3.
Понятие числового ряда, частичные суммы, сходимость и сумма ряда. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Парадоксы Зенона.Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
4.
Исследование сходимости рядов. Признак сравнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Признак Лейбница. Абсолютная сходимость.
5. Понятие функции. График функции. Способы задания (табличный, графический, явный, неявный). Обратная функция. Векторная функция.
Закон движения точки в пространстве, как вектор - функция времени.
6. Основные элементарные функции (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и гиперболические функции).
7. Предел функции. Односторонние пределы функции в точке. Бесконечные пределы. Порядки бесконечно малых и бесконечно больших величин. Замечательные пределы.
8. Непрерывность функции.
Разрывы I и II рода. Разрыв I рода, как мгновенное изменение физической величины.
9. Мгновенная скорость материальной точки. Производная функции. Касательная к графику функции. Уравнение касательной. Формула конечных приращений (Лагранжа).
10. Линеаризация функции вблизи точки касания. Дифференциал функции. Бесконечно малое приращение физической величины. Производная, как отношение дифференциалов. Второй закон термодинамики.
11. Односторонние производные. Непрерывность дифференцируемой функции. Примеры непрерывных функций, не дифференцируемых в некоторых точках (модуль, затухающее колебание с возрастающей частотой). Типичные особенности графиков вблизи таких точек.
12. Правила дифференцирования.
Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производные основных элементарных функций.
13. Условие монотонности дифференцируемой функции. Критическая точка. Характерные особенности графиков вблизи критических точек.
14. Экстремумы функции. Необходимое условие и достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
15. Мгновенное ускорение материальной точки. Вторая производная функции. Второй закон Ньютона. Производные высших порядков. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталля.
16. Степенной ряд. Радиус и интервал сходимости. Многочлен, как финитный степенной ряд.
Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Понятие функционального ряда.
17. Формула Тейлора для многочлена.
Общая формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.
18. Ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Маклорена для основных элементарных функций. Разложения функций в степенные ряды. Приложения к вычислению функций.
19. Применение производных высших порядков к исследованию функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость функции, точки перегиба. Вертикальные, наклонные и горизонтальные ассимптоты. Алгоритм исследования функции.
20. Производные и дифференциал векторной функции.
Векторы мгновенной скорости и ускорения материальной точки. Вектор бесконечно малого перемещения.
21. Функция двух переменных, линии уровня, график. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные.
22. Дифференцируемость и дифференциал. Касательная плоскость. Линеаризация вблизи точки касания. Дифференцирование функций одной переменной, заданных неявно.
23. Частные производные высших порядков от функции двух переменных
Независимость от порядка дифференцирования. Формула Тейлора.
24. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие и достаточное условие экстремума. Седловые точки. Построение линейного тренда (метод наименьших квадратов).
25. Шар и параллелепипед в n - мерном арифметическом пространстве. Окрестность точки. Понятие границы множества. Открытые, замкнутые, компактные, связные подмножества. Функция n переменных. Предел и непрерывность функции n переменных. Верхняя и нижняя грань функции на множестве, максимум и минимум непрерывной функции на компактном множестве. Распределение физической величины в области пространства или пространства - времени.
26. Частные производные. Потенциальное силовое поле.
Дифференцируемость и дифференциал, линеаризация функции n переменных. Бесконечно малое приращение физической величины.
27. Частные производные сложной функции. Функциональная зависимость физических величин, матрица Якоби. Обратимая функциональная зависимость, якобиан.
28. Криволинейные координаты на плоскости, в пространстве, в n - мерном арифметическом пространстве. Преобразование элемента объема при замене координат. Элемент объема в полярных, цилиндрических и сферических координатах.
29. Частные производные высших порядков.
Уравнение теплопроводности. Независимость производных от порядка дифференцирования. Формула Тейлора и разложение функций n переменных в степенные ряды.
30. Необходимое условие и достаточное условие экстремума.
Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
31. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Первообразные основных элементарных функций.
32. Интегрирование по частям. Методы замены переменной в неопределенном интеграле.
33. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Определенный интеграл и его свойства. Среднее значение непрерывной физической величины.
34. Формула Ньютона - Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле. Работа переменной силы.
35. Длина кривой на плоскости и в пространстве. Вектор - элемент кривой.
36. Энергия взаимодействия пары электрических зарядов. Несобственные интегралы.
